Lại đố! cân kẹo...

THÀNH VIÊN HHVN CAFÉ
21

Không biết canh lề văn bản ở trong này

Tôi tổng hợp của các bác và thêm thắt tí chút (cách giải của ông anh mình, mình vẫn chưa hiểu được).

Đánh dấu các đồng tiền thứ tự từ 1 đến 12.

  • Lần I: (1.2.3.4)^(5.6.7.8)

  • Lần II: (9.10.11.5)^(1.2.7.8)

  • Sẽ có các trường hợp sau:

  1. I=, II= ->1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11 là thật → 12 khác (cân III: 1^12 → biết 12 nặng-nhẹ)

  2. I=, II#: vì 1.2.3.4.5.6.7.8.12 là các đồng tiền chuẩn → 9.10.11 khác.

…(9.10.11.5)(1.2.7.8) 9.10.11 khác và đồng tiền giả nhẹ hơn.
…Lần III: 9^10 :
…9\10 : 09 khác-nhẹ
…9/10 : 10 khác-nhẹ
…9=10: 11 khác-nhẹ

…(9.10.11.5)/(1.2.7.8) 9.10.11 khác và đồng tiền giả nặng hơn.
…Lần III: 9^10 :
…9\10 : 10 khác-nặng
…9/10 : 9 khác-nặng
…9=10: 11 khác-nặng

  1. II=, I# - vì 1.2.5.7.8.9.10.11.12 là các đồng tiền chuẩn → 3.4.6 khác - đồng tiền giả có thể ở một bên bất kỳ.

…(1.2.3.4)(5.6.7.8) 3.4 khác - nhẹ hơn 6
…Lần III: 3^4 :
…3\4 : 3 khác-nhẹ
…3/4 : 4 khác-nhẹ
…3=4: 6 khác-nặng

…(1.2.3.4)/(5.6.7.8) 3.4 khác-nặng hơn 6
…Lần III: 3^4 :
…3\4 : 4 khác-nặng
…3/4 : 3 khác-nặng
…3=4: 6 khác-nhẹ

  1. I#, II#

Hai lần cân I và II đều lệch, với 2 loại kết quả là A\B (A nhẹ hơn) hay A/B (A nặng hơn), sẽ có 4 khả năng. Chú ý là vì hai lần cân I và II đều lệch nên đồng tiền giả phải có mặt ở cả hai lần cân → chỉ xét các đồng 1.2.5.7.8. Thêm nữa, dựa vào kết quả 2 lần cân đầu, ta xác định được 1 số đồng tiền “không thể là giả”.

…a) (1.2.3.4)(5.6.7.8) và (9.10.11.5)/(1.2.7.8) - không thể là 7.8 (nếu 7 hoặc 8 là giả thì lần I nó nặng hơn tiền thật, lần II lại nhẹ hơn tiền thật →
…5 khác-nặng hoặc 1.2 khác-nhẹ
…Lần III: 1^2
…1\2 : 1 khác-nhẹ
…1/2 : 2 khác-nhẹ
…1=2 : 5 khác-nặng

…b) (1.2.3.4)/(5.6.7.8) và (9.10.11.5)(1.2.7.8) - không thể là 7.8 →
…5 khác-nhẹ hoặc 1.2 khác-nặng
…Lần III: 1^2
…1\2 : 2 khác-nặng
…1/2 : 1 khác-nặng
…1=2 : 5 khác-nhẹ

…c) (1.2.3.4)/(5.6.7.8) và (9.10.11.5)/(1.2.7.8) - không thể là 1.2.5 →
…7.8 khác-nhẹ →
… Lần III: 7^8
…7\8: 7 khác-nhẹ
…7/8: 8 khác-nhẹ

…d) (1.2.3.4)(5.6.7.8) và (9.10.11.5)(1.2.7.8) - không thể là 1.2.5 →
…7.8 khác-nặng →
…Lần III: 7^8
…7\8 : 8 khác-nặng
…7/8 : 7 khác-nặng

Như vậy duyệt qua đủ 12 đồng xu, biết đồng nào khác và nó nặng hay nhẹ.

22

Em vừa bị mất chầu kem cho thằng nhóc nhà em với bài 13 xu. Bài giải của nó tuy hơi dài dòng nhưng khá dễ hiểu. Các bác kiểm tra lại hộ em xem có bị nó lừa không nhé.

Xét các bài toán phụ trong bài toán chính.
Bài toán 1.
Cho 3 đồng xu giống hệt nhau, trong đó có 1 đồng xu giả. Biết rằng đồng xu giả nặng hơn (hoặc nhẹ hơn) đồng xu thật. Hãy tìm ra đồng xu giả mà chỉ cân 1 lần.
Giải:
Quẳng 2 đồng xu bất kỳ lên bàn cân. Nếu cân bằng, đồng còn lại sẽ là giả. Nếu cân lệch về bên nào thì tùy dữ kiện bài toán (đồng giả nặng hơn hay đồng giả nhẹ hơn) mà tìm ra đồng giả > Xong.

Bài toán 2.
Cho 2 đồng xu giống hệt nhau X1 và X2, trong đó có 1 đồng xu giả (không biết nhẹ hơn hay nặng hơn) và một đồng xu thật T1 cũng giống 2 đồng kia. Hãy tìm ra đồng xu giả mà chỉ cần cân 1 lần.
Giải:
Quẳng đồng xu thật T1 và một trong các đồng xu nghi ngờ lên bàn cân, thí dụ X1. Nếu cân bằng X2 là giả, nếu lệch X1 là giả > Xong

Bài toán 3.
Cho 3 đồng xu giống hệt nhau X1, X2 và X3 trong đó có một đồng giả, và một đồng xu thật T1. Biết rằng khi đặt T1, X1 lên một bên và X2, X3 lên bên kia của bàn cân thì cân lệch về bên T1, X1 (hoặc X2, X3) Hãy tìm ra đồng xu giả mà chỉ cần cân 1 lần.
**Giải:
**Quẳng X2 và X3 lên 2 đầu của bàn cân, giữ nguyên bên của X3 (nếu X3 nằm bên phải thì quẳng X2 sang bên trái và ngược lại). Nếu cân bằng X1 là giả, nếu cân lệch cùng bên với dữ kiện đầu bài X3 là giả, nếu cân lệch ngược bên với dữ kiện đầu bài X2 là giả > Xong.

Bài toán chính:
Cho 13 đồng xu giống hệt nhau, trong đó có 1 đồng xu giả. Hãy tìm ra đồng xu giả mà chỉ cân nhiều nhất là 3 lần.
Giải:
Đánh số các đồng xu từ X1 đến X13
Cân lần 1: X1, X2, X3, X4 : X5, X6, X7, X8

  • Nếu cân bằng:
    • Cân lần 2: X9, X10, X11 : X1, X2, X3
      • Nếu cần bằng => Đồng xu giả là X12 hoặc X13. Giải bài toán 2 với đồng xu thật là X1 và 2 đồng xu chưa phân biệt là X12, X13 → Tìm ra đồng xu giả ở lần cân thứ 3.
      • Nếu cân lệch => Đồng xu giả là X9 hoặc X10 hoặc X11 đồng thời cũng biết đồng xu giả này nặng hơn hạy nhẹ hơn đồng xu thật (theo hướng lệch của cân). Giải bài toán 1 với ba đồng xu X9, X10, X11 → Tìm ra đồng xu giả ở lần cân thứ 3.
- Nếu cân lệch (ở lần cân thứ 1): Đồng xu giả nằm trong  X1 đến X8
- Cân lần 2: X9, X10, X4, X5 : X1, X2, X7, X8
     - Nếu cân bằng => đồng xu giả là X3 hoặc X6. Giải bài toán 2 với X1 (thật) và X3, X6 (chưa xác định) => Tìm ra đồng xu giả ở lần cân thứ 3.
     - Nếu cân lệch: Ghi nhớ chiều lệch này
        - Nếu cân lệch cùng bên với lần cân 1. "Thủ phạm" là X7, X8 hoặc X4 vì X1, X2, X5 đã thay đổi vị trí cân mà chẳng "xi nhê" gì do vậy X1, X2, X5 là thật.  Với chiều lệch đã ghi nhớ, giải bài toán 3 với X5 (thật) và X4, X7, X8 (chưa xác định) > Tìm ra đồng xu giả ở lần cân thứ 3.
        - Nếu cân lệch khác bên với lần cân 1. Tương tự với lập luận trên, "Thủ phạm" là X1, X2 Hoặc X5. Với chiều lệch đã ghi nhớ, giải bài toán 3 với X4 (thật) và X1, X2, X5 (chưa xác định) > Tìm ra đồng xu giả ở lần cân thứ 3.

Với bài toán 12 xu thì cũng giải tương tự, tuy nhiên không dùng đến bài toán 2.